Застосування GeoGebra

 

Розв’язання задач за допомогою GeoGebra

Проаналізуємо, які з команд програмного забезпечення GeoGebra ми можемо використовувати при вивченні теми.

В GeoGebra досить зручно і раціонально знаходити первісні, обчислювати інтеграли, знаходити площі фігур, обмежені функціями.

1) Для обчислення невизначеного інтеграла (знаходження первісної) використовують вкладку Інтеграл [<Функція>, <Змінна>].

Наприклад.

Для функції f знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А.

f(x)= , A(-1;3) (достатній рівень )

Розв’язання

1-й спосіб (без використання програмного засобу)

Спочатку знаходимо первісну і записуємо сукупність всіх первісних F(x)= , далі визначаємо необхідну константу С. Для цього підставимо значення аргументу F(-1)=3, отримаємо  

  звідси маємо С=3*1/3 . Отже, F(x)=  x^3/3+31/3.

2-й спосіб (за допомогою GeoGebra)

а) В рядку введення пишемо f(x)=x^2+а .

б) Створюємо повзунок а

в) Ставимо точку A(-1;3)

г) Обчислюємо інтеграл. Для цього серед функцій знаходимо Інтеграл[f, х ] (рис.1)

Рухаючи повзунок знаходимо графік, який проходить через точку А.

Рис. 1

         Засіб GeoGebra зручно використовувати коли є утруднення при обчисленні первісних, уточненні множини всіх первісних.

2)Для обчислення визначеного інтеграла використовують вкладку Інтеграл [<Функція>, <Початкове значення>, <Кінцеве значення> ]

Наприклад.

Обчислити інтеграл  (середній рівень ).

1-й спосіб (без використання програмного засобу)

2-й спосіб (за допомогою GeoGebra з використанням символьних перетворень виразів)

Обчислюємо інтеграл d. Для цього серед функцій знаходимо Інтеграл[f, a, b] (рис. 2)

3-й спосіб (за допомогою GeoGebra як границю інтегральних)

а) В рядку введення пишемо f(x)=x^2-1 

б) Для того, щоб учням продемонструвати як обчислюється визначений інтеграл за означенням створюємо три «повзунка»: n кількість проміжків;  a нижня межа; b верхня межа.

в) Обчислюємо нижню суму c. Для цього в  рядку введення пишемо Нижня Сума[f, a, b, n].

Змінюючи положення n ми знаходимо кількість проміжків. Збільшуючи n ми демонструємо зменшення похибки. Наприклад при n=11 нижня сума дорівнюватиме 1.2, а при n=100 нижня сума буде 1.32. Як бачимо наша похибка зменшилася на 0.12.

Рис. 2

3)Для обчислення площі фігури використовують вкладку ІнтегралМіж [<Функція>, <Функция>, <Початкове значення x>, <Кінцеве значення x>]

Наприклад.

Знайти площу фігури обмежену лініями f(x)= , g(x)=x-4 (достатній рівень [19])

1-й спосіб (без використання програмного засобу)

Знайдемо абсциси перетину графіків функцій

x=1, x=4

Тоді шукана площа дорівнює:

S=  (x - 4)dx=

2-й спосіб (за допомогою GeoGebra)

а) В рядку введення пишемо функції f(x)= , g(x)=x-4

б) Використовуючи інструмент Точки перетину, знайдемо координати точок перетину графіків функцій.  Отримаємо, що Х(А)=1, х(В)=4. Слід зазначити, що засіб Gran1 менш потужний у порівнянні із GeoGebra, тому що в тому засобі ми не змогли б обчислити і автоматично проставити межі інтегрування.

б) Обчислюємо площу. Для цього серед функцій знаходимо ІнтегралМіж[f, g,Х(А),Х(В)] (рис. 3).

S=  (x - 4)dx=4.5

Рис. 3

         Знайти площу фігури обмежену лініями f(x)= , g(x)=  (достатній рівень )

1-й спосіб (без використання програмного засобу)

Знайдемо абсциси перетину графіків функцій

x=2, x=-1

Тоді шукана площа дорівнює:

S=  ( )dx= = +1+4)=9

2-й спосіб (за допомогою GeoGebra)

а) В рядку введення пишемо функції f(x)=x^2, g(x)=  

б) Обчислюємо площу. Для цього серед функцій знаходимо ІнтегралМіж[f, g,-1,2] (рис. 4).

S=  ( )dx=9

Рис. 4

         Одну із таких задач можна використати для роботі в класі, а другу для домашнього завдання.

Також можемо використати «Інспектор функцій», який показує основні властивості графіка: найбільше і найменше значення, корінь функції, інтеграл та площу на проміжку, середнє арифметичне та довжину функції (значення, які в школі не вивчаються) (рис.5). 

Рис. 5

5) Для обчислення площі криволінійної трапеції можна використати вкладку Тратеціїдальна сума[ <Функція>, <Початкове значення>, <Кінцеве значенння>, <Число трапецій> ]. Таке обчислення доцільно демонструвати на інтегрованих уроках математики з інформатикою (можна використовувати таку формулу:  ).

Наприклад.

Обчислити площу фігури обмежену лініями y=4- , y=0, на проміжку [-1;2] (достатній рівень [19]).

1-й спосіб (без використання програмного засобу)

S= dx= ) 9

2-й спосіб (за допомогою GeoGebra)

а) В рядку введення пишемо функції f(x)=4-x^2, g(x)=  

б) Створюємо повзунок n – кількість трапецій

в) Обчислюємо площу. Для цього серед функцій знаходимо Тратеціїдальна сума [f, -1, 2, n](рис. 6).

S= dx=8.96

Рис. 6

         Як бачимо похибка обчислень двома різними способами дорівнює 0.04.

6) Для функції f(x)=  знайдіть таку первісну, що пряма y=5x-2 є дотичною до графіка (високий рівень [19]).

Розв’язання

1-й спосіб (без використання програмного засобу)

         Спочатку знаходимо первісну функції F(x)= C. З умови маємо, що F’(x)=5, F’(x)=f(x)=5. Знайдемо С:

;

;

,  – точки дотику дотичної до графіка функції F(x)

     

 

 

 

2-й спосіб (за допомогою GeoGebra)

а)  В рядку введення пишемо функції f(x)= , y=  

б) Створюємо повзунок a

в) Обчислюємо спочатку інтеграл I, використовуючи команду Інтеграл[f, x]. Рухаючи повзунок, добираємо відповідне значення константи, знаходимо первісну, для якої пряма y=5x-2 є дотичною до графіка. Інтеграл[f, x]+a (рис. 7)

Рис. 7

Проте GeoGebra має свої недоліки. В програмі точки перетину графіків функцій шукаються не досить якісно, не зручно обчислювати об’єм фігури обертання, для цього потрібно записати інтеграл у такому вигляді 2π  і при цьому не здійснюється візуалізація, тобто не будується тіло обертання.